Çizgilerin Castelnuovo-Mumford regülaritesi ve döngü-kıran komplekslerin topolojisi

Abstract

Bu proje çalışmasının iki temel amacı vardır. Bunlardan ilki, en genel anlamıyla her hangi bir kare-serbest monomial I idealinin Castelnuovo-Mumford regülaritesinin hesaplanması ve bu hesapta kullanılabilecek etkin yöntemlerin keşfedilmesi olarak betimlenebilir. Genel olarak regülarite hesabı oldukça zor olduğu için direkt hesaplamaların yanısıra regülariteye altan veya üsten etkin sınırların bulunması da önemli bir işlem olarak kabul görmektedir. Her ne kadar regülarite bir cebirsel değişmez olsa da, bu çalışmanın temel yaklaşımı kombinatoriyaldir. Özellikle çizgeler teorisinin temel enstrümanları bu değişmezin hesaplanması veya sınırlandırılmasında etkin bir şekilde kullanılmıştır. Bu amaç doğrultusunda proje kapsamında ulaşılan sonuçlar temel başlıklar altında şöyledir: • Her hangi bir kare-serbest monomial idealin regülaritesinin ilintili bir iki-çoklu çizgeden hesaplanabileceği ispatlanmıştır. • Köşe-parçalanabilir ve ardıl-sökülebilir çizgelerin regülariteleri belirlenmiştir. • Asal çizge kavramı tanımlanarak, regülarite hesabının bir çizgenin indirgenmiş asal parçalanışlarının bulunması problemiyle eşlenmiştir. • 2K2-serbest ve regülaritesi istenildiği kadar büyük çizgelerin varlığı tespit edilmiştir. Çizge operasyonlarının regülariteye etkileri tespit edilmiştir. İkinci amacımız, çizgelerin döngü-kıran komplekslerinin veya daha genel haliyle yoksunluk komplekslerinin topolojisini incelemek olmuştur. Bu komplekslerin (topolojik) bağlantılılık sayılarının çizgelerin bir takım bilinen nümerik değişmezlerin belirlenmesinde veya sınırlandırılmasında etki sahibi olması, bu noktadaki çalışmalarımızın temel motivasyonu olmuştur.