Convergence Analysis of Operator Splitting Methods for the Burgers-Huxley Equation

Abstract

The purpose of this thesis is to investigate the implementation of the two operator splitting methods; Lie-Trotter splitting and Strang splitting method applied to the Burgers- Huxley equation and prove their convergence rates in Hs(R), for s ≥ 1. The analyses are based on the properties of the Sobolev spaces. The Burgers-Huxley equation is deal with the two parts; linear and non-linear parts. The regularity results are shown by using the same technique in (Holden, Lubich and Risebro, 2013) for both parts. By combining these results with the numerical quadratures and the Peano Kernel theorem error bounds are derived for the first and second order splitting methods. In the computational part, the operator splitting methods are applied to the Burgers-Huxley equation. Finally, the convergence rates for the two splitting methods are checked numerically. These numerical results confirmed the theoretical results.

Bu tezin amacı, iki operatör ayırma metodu olan Lie-Trotter ve Strang ayırma metotlarının Burgers-Huxley denklemine uygulanmasını incelemek ve bu methodların yakınsaklık analizlerini, s ≥ 1 olmak üzere, Hs(R) uzayında kanıtlamaktır. Analizler, Sobolev uzayının özelliklerine dayanmaktadır. Burgers-Huxley denklemi, doğrusal ve doğrusal olmayan olmak üzere iki bölümde ele alınmı¸stır. Her iki bölüm için de doğruluk sonuçları (Holden, Lubich and Risebro, 2013) da kullanılan tekniğin aynısı kullanılarak gösterilmiştir. Bu sonuçlar, sayısal integrasyon ve Peano Kernel teoremi ile birleştirilerek birinci ve ikinci mertebeden ayırma metotları için hata sınırları elde edilmiştir. Sayısal kısımda, Burgers-Huxley denklemine operatör ayırma metotları uygulanmıştır. Son olarak, bu iki ayırma metodunun yakınsaklık hızları sayısal olarak kontrol edilmiştir. Bu sayısal sonuçlar teorik sonuçlar ile doğrulanmıştır.