Randomization of certain operators in harmonic analysis

Abstract

Bu tezde, stokastik süreçler aracılığıyla rastsallaştırılmış Hardy-Littlewood majorant problemi çalışılmıştır. Rastsallaştırma için durağan süreçler, rastgele yürüyüşler ve Poisson süreçleri kullanılmış ve bu süreçlerle pertürbe edilmiş deterministik kümeler için Hardy-Littlewood majorant özelliğinin neredeyse kesin olarak geçerli olduğu gösterilmiştir. Poisson süreçleri ile Green-Ruzsa kümesi de dahil olmak üzere çok büyük bir seyrek küme sınıfı pertürbe edilmiştir ve Hardy-Littlewood majorant özelliğinin ihmal edilebilir bir olasılıkla geçerliliğini sürdürdüğü gösterilmiştir. Ayrıca, frekansları daha büyük adım boyutuna sahip bir artimetik ilerleme oluşturan bir üstel toplamın L^2-normu ve L^4-normunun beklenen değerlerinin rastsallaştırmadan nasıl etkilendiği incelenmiştir. Dahası, Poisson süreçleriyle rastsallaştırılmış frekanslara sahip üstel toplamların L^n-normlarının, n ∈ 2N, beklenen değeri kestirilmiş ve bu normlar, ortalama anlamda, bölgeler üzerindeki tam sayı koordinatlı noktalar veya diyofant denklemlerinin çözümleri olarak yorumlanır.

In this thesis, we study Hardy-Littlewood majorant problem randomized via stochastic processes. Stationary processes, random walks and Poisson processes are used for randomization, and we show the Hardy-Littlewood majorant problem holds almost surely for deterministic sets perturbed by these processes. We also perturb a very large class of sparse sets, including the Green-Ruzsa set by Poisson processes and demonstrate that the Hardy-Littlewood majorant property remains valid up to a negligible probability. Additionally, we investigate how randomization affects the expected values of L^2-norm and L^4-norm of an exponential sum whose frequencies constitute an arithmetic progression of larger step size. Furthermore we estimate the expected value of the L^n-norms, n ∈ 2N, of an exponential sums whose frequencies are randomized via Poisson processes, and these norms can be interpreted as lattice points in regions or solutions of diophantine equations in an average sense.