Graph Invariants in Knot Theory

Abstract

Bu tez, düğüm teorisi ile graf teorisi arasındaki bağın kurulmasını incelemektedir. Graf değişmezleri olarak incelenen Chromatic polinomu, Dichromatic polinomu ve Tutte polinomu, bir grafın köşe boyamaları ile ilişkilidir. Düzlemsel işaretli grafın medial yapısı, linkler ve düğümler ile birebir bir ilişkiye sahiptir. Bu ilişki, Tutte polinomu ile Kauffman bracket polinomu arasındaki bağı, dolayısıyla Jones polinomu ile olan ilişkiyi ortaya koyar. Ayrıca, klasik düğüm teorisini genelleyen Virtual Düğüm Teorisi'ni, Kauffman'ın tanıttığı şekliyle inceliyoruz. Bollobás-Riordan polinomu, ribbon grafikler için Tutte polinomunun bir genellemesi olarak sunulmaktadır. Son olarak, sanal linklerin Kauffman bracket polinomları ile ribbon grafilerin Bollobás-Riordan polinomları arasındaki ilişkiyi gösteriyoruz.

This thesis reviews the establishment of the link between knot theory and graph theory. The chromatic polynomial, the dichromatic polynomial, and the Tutte polynomial are examined in detail as graph invariants related to the vertex coloring of a graph. Signed planar graphs are one-to-one correspondence with links and knots via medial construction. This correspondence reveals the relation between the Tutte polynomial and Kaufmann bracket polynomial, hence a Jones polynomial. Furthermore, we explore Virtual Knot Theory, introduced by Kauffman, which generalizes classical knot theory. The Bollobás-Riordan polynomial is presented as a generalization of the Tutte polynomial for ribbon graphs. We show the relationship between the Kauffman bracket polynomials of virtual links and the Bollobás-Riordan polynomials of ribbon graphs.