On Generalization of Hopfian Modules

Abstract

The notion of Hopfian modules are defined as a generalization of modules of finite length as the modules whose surjective endomorphisms are isomorphisms. These modules and several generalizations of them are extensively studied in the literature. The aim of this thesis is to review some known results and extends some results about generalized Hopfian and weakly Hopfian modules. It is shown that a module is Hopfian if and only if it is both generalized Hopfian and weakly Hopfian. Torsion-free abelian groups are weakly Hopfian. Any nonsingular uniform module is weakly Hopfian. Direct summands of weakly Hopfian modules is weakly Hopfian. It is shown that direct sum weak Hopfian modules is not necessarily weakly Hopfian.

Hopfian modülleri kavramı; örten endomorfizmaları izomorfizma olan sonlu uzunluktaki modüllerin genelleştirilmesi olarak tanımlanmaktadır. Bu modüller ve bunların çeşitli genellemeleri literatürde kapsamlı olarak incelenmiştir. Bu tezin amacı, bilinen bazı sonuçların gözden geçirilmesi ve genel Hopfian ve zayıf Hopfian modülleri hakkında bazı sonuçların ortaya konulmasıdır. Bir modülün Hopfian modül olmasının gerek ve yeter koşulunun o modülün hem genel Hopfian hemde zayıf Hopfian olduğu gösterilmiştir. Serbest Torsion değişmeli gruplar zayıf Hopfiandır. Herhangi düzensiz tekil olmayan modüller zayıf Hopfian modüllerdir. Zayıf Hopfian modüllerin direk toplamı zayıf Hopfian modüldür. Direk toplamı zayıf Hopfian modül olan modüllerin zayıf Hopfian modül olmak zorunda olmadığı gösterilmiştir.