Injective Modules and Their Generalizations

Abstract

The main goal of this thesis is to give a survey about some different generalizations of injective modules, namely, C1, C2, C3-conditions and the modules which satisfy the simple versions of these conditions. A right R-module M is called simple-directinjective if every simple submodule which is isomorphic to a direct summand of M is itself a summand, or if the direct sum of any two simple summands whose intersection is zero is a direct summand of M. Firstly, various basic properties and some characterizations of these modules are presented. The relation between simple-direct-injective modules and C3-modules is exhibited. Also, we obtain the structure of simple-direct-injective modules over the ring of integers and over semilocal rings. It is shown that over a commutative ring every nonsingular module is simple-direct-injective.

Bu tezin temel amacı C1,C2, C3 şartları ve bu şartların basit versiyonlarını sağlayan injektif modüllerin bazı farklı genelleştirmeleri hakkında araştırma yapmaktır. Bir M sağ R-modülünün direkt toplananına izomorf olan her basit alt modülü yine M’nin direkt toplananı ise ya da M’nin kesişimleri sıfır olan iki basit direkt toplananının direkt toplamı M’nin direkt toplananı ise, M’ye basit-direkt-injektif modül denir. Öncelikle bu modüllerin çeşitli temel özellikleri ve bazı karakterizasyonları verilmiştir. Basit-direkt-injektif modüllerle C3-modüller arasındaki ilişki gösterilmiştir. Ayrıca basit-direkt-injektif modüllerin tam sayılar ve yarıyerel halkalar üzerindeki yapısı elde edilmiştir. Değişmeli halkalar üzerinde her singuler olmayan modülün basit-direkt-injektif olduğu gösterilmiştir.