Exactly Solvable Burgers Type Equations With Variable Coefficients and Moving Boundary Conditions

Abstract

In this thesis, firstly, a generalized diffusion type equation is considered. A family of analytical solutions to an initial value problem on the whole line for this equation is obtained in terms of solutions to the characteristic ordinary differential equation and the standard heat model by using Wei-Norman Lie algebraic approach for finding the evolution operator of the associated diffusion type equation. Then, initial-boundary value problems on half-line and an initial-boundary value problem with moving boundary for this equation are studied. It is shown that if the boundary propagates according to an associated classical equation of motion determined by the time-dependent parameters, then the analytical solution is obtained in terms of the heat problem on the half-line. For this, a non-linear Riccati type dynamical system, that simultaneously determines the solution of the diffusion type problem and the moving boundary is solved by a linearization procedure. The mean position of the solutions, the influence of the moving boundaries and the variable parameters are examined by constructing exactly solvable models. Then, an initial value problem for a generalized Burgers type equation on whole real line is discussed. By using Cole-Hopf linearization and solution of the corresponding generalized linear diffusion type equation, a family of analytical solution is obtained in terms of solutions to the characteristic equation and the standard heat or Burgers model. Exactly solvable models are constructed and the influence of the variable coefficients are examined. Later, an initial-boundary value problem for the generalized Burgers type equation with Dirichlet boundary condition defined on the half-line is studied. Finally, an initial-boundary value problem for the generalized Burgers type equations with Dirichlet boundary condition imposed at a moving boundary is considered. The analytical solution is obtained in terms of solution to characteristic equation and the standard heat or Burgers model, if the moving boundary propagates according to an associated classical equation of motion. In order to show certain aspects of the general results, some exactly solvable models are introduced and solutions corresponding to different types of initial and homogeneous/inhomogeneous boundary conditions are discussed by examining the influence of the moving boundaries.

Bu tezde, ilk olarak genelleştirilmiş difüzyon tipi bir denklem ele alınmıştır. Tüm reel çizgi üzerinde bir başlangıç değer probleminin analitik çözümler ailesi ilgili difüzyon tipi denklemin evrim operatörünü bulmak için Wei-Norman Lie cebirsel yaklaşımı kullanılarak karakteristik adi diferensiyel denklemin ve standart ısı modelinin çözümleri cinsinden elde edilmiştir. Daha sonra bu denklem için yarım çizgideki başlangıç-sınır değer problemleri ve hareketli sınır koşullu başlangıç-sınır değer problemi çalışılmıştır. Sınır, zamana bağlı parametreler tarafından belirlenen ilişkili bir klasik hareket denklemine göre yayılırsa, o zaman analitik çözümün yarım çizgi üzerindeki klasik ısı problemi açısından elde edildiği gösterilmiştir. Bunun için difüzyon tipi problemin ve hareketli sınırın çözümünü eş zamanlı olarak belirleyen lineer olmayan Riccati tipi bir dinamik sistem bir lineerleştirme prosedürü ile çözülmüştür. Çözüm dağılımının ortalama konumu, hareketli sınırların ve değişken parametrelerin etkisi tam olarak çözülebilir modeller oluşturularak gösterilmiştir. Daha sonra, tüm reel cizgi üzerinde genelleştirilmiş bir Burgers tipi denklem için bir başlangıç değer problemi tartışılmıştır. Cole-Hopf doğrusallaştırması ve karşılık gelen genelleştirilmiş doğrusal difüzyon tipi denklemin çözümü kullanılarak, karakteristik denklem ve standart ısı veya Burgers modelinin çözümleri açısından bir analitik çözüm ailesi elde edilmiştir. Tam olarak çözülebilir modeller oluşturulur ve değişken katsayıların etkisi incelenmiştir. Daha sonra, yarım çizgi üzerinde tanımlanan Dirichlet sınır koşullu genelleştirilmiş Burgers tipi denklem için bir başlangıç sınır değer problemi incelenmiş ve farklı başlangıç ve sınır koşullarına sahip tam olarak çözülebilir modeller sunulmuştur. Son olarak, hareketli bir sınıra dayatılan Dirichlet sınır koşuluna sahip genelleştirilmiş Burgers tipi denklemler için bir başlangıç sınır değer problemi ele alınmıştır. Eğer hareketli sınır ilişkili bir klasik hareket denklemine göre yayılırsa, analitik çözüm, karakteristik denklemin ve standart ısının veya Burgers modelinin çözümü cinsinden elde edilmiştir. Genel sonuçların belirli yönlerini göstermek için, tam olarak çözülebilir bazı modeller tanıtılmış ve hareketli sınırların etkisi incelenerek farklı başlangıç ve homojen/homojen olmayan sınır koşullarına karşılık gelen çözümler tartışılmıştır.