Kaleidoscope of Quantum Coherent States and Units of Quantum Information

Abstract

In the present thesis, we study superposition of coherent states as the kaleidoscope of quantum coherent states, associated with regular n-polygon symmetry and the roots of unity q2n = 1. These states are generalizations of the Schrödinger cat states, corresponding to the roots of unity q2 = −1. To describe physical characteristics of kaleidoscope states, we introduce new type of mod n exponential functions as a superposition of exponential functions in the form of discrete Fourier transform. These functions are also known as generalized hyperbolic functions, satisfying ordinary differential equations with proper initial conditions. Kaleidoscope states are eigenstates of n-th order eigenvalue problem for annihilation operator and are not minimal uncertainty states. These states are described as quantum Fourier transform of Glauber coherent states. Normalization factors, uncertainty relations, average number of photons and coordinate representation for these states are found in a compact form by mod n exponential functions. The set of kaleidoscope states, as orthonormal computatitonal basis of quantum states, describes generic qudit unit of quantum information. Relations of kaleidoscope states with quantum group symmetry are discussed. The special cases of trinity and quartet states, corresponding to qutrit and ququat units of quantum information are treated in details.

Bu tezde, eş uyumlu durumların kuantum birleştirimi olarak n kenarlı düzgün çokgen ve q2n = 1 birimin kökleriyle ilişkili eş uyumlu kuantum durumlarının kaleydoskobu çalışılmıştır. Bu durumlar q2 = −1 birim köküne karşılık gelen Schrödinger’in kedisi durumlarının genelleştirilmesidir. Kaleydoskop durumlarının fiziksel özelliklerini oluşturmak için, ayrık Fourier dönüşümü ile üstel fonksiyonların kombinasyonu olan yeni tipteki mod n üstel fonksiyonları tanımladık. Ayrıca, bu tipteki fonksiyonlar uygun başlangıç koşullarıyla adi diferansiyel denklemlerin çözümleri olan genelleştirilmiş hiperbolik fonksiyonlar olarak da bilinir. Kaleydoskop durumları yok etme operatörünün n-inci dereceden özdeğer probleminin özdurumudur ve minimum belirsiz kuantum durumları değildir. Bu durumlar Glauber eş uyumlu durumların kuantum Fourier dönüşümü olarak tanımlanır. Mod n fonksiyonları ile bu durumların normalleştirme faktörleri, belirsizlik ilişkileri, fotonların ortalama değerleri ve koordinat temsilleri kompakt bir formda bulunmuştur. Ortonormal hesaplama bazı olarak kaleydoskop durumların kümesi, kuantum bilgisinin küdit(qudit) birimini tanımlar. Kaleydoskop durumların kuantum grup simetrisi ile ilişkisi çalışılmıştır. Özel olarak, kutirit(qutrit) ve kukuat(ququqat) kuantum bilgi birimlerine karşılık gelen üçlü(trinity) ve dörtlü(quartet) durumları detaylı bir şekilde inceledik.