Exactly Solvable Quantum Parametric Oscillators in Higher Dimensions

Abstract

The purpose of this thesis is to study the dynamics of the generalized quantum parametric oscillators in one and higher dimensions and present exactly solvable models. First, time-evolution of the nonclassical states for a one-dimensional quantum parametric oscillator corresponding to the most general quadratic Hamiltonian is found explicitly, and the squeezing properties of the wave packets are analyzed. Then, initial boundary value problems for the generalized quantum parametric oscillator with Dirichlet and Robin boundary conditions imposed at a moving boundary are introduced. Solutions corresponding to different types of initial data and homogeneous boundary conditions are found to examine the influence of the moving boundaries. Besides, an N-dimensional generalized quantum harmonic oscillator with time-dependent parameters is considered and its solution is obtained by using the evolution operator method. Exactly solvable quantum models are introduced and for each model, the squeezing and displacement properties of the time-evolved coherent states are studied. Finally, time-dependent Schrödinger equation describing a generalized two-dimensional quantum coupled parametric oscillator in the presence of time-variable external fields is solved using the evolution operator method. The propagator and time-evolution of eigenstates and coherent states are derived explicitly in terms of solutions to the corresponding system of coupled classical equations of motion. In addition, a Cauchy-Euler type quantum oscillator with increasing mass and decreasing frequency in time-dependent magnetic and electric fields is introduced. Based on the explicit results, squeezing properties of the wave packets and their trajectories in the two-dimensional configuration space are discussed according to the influence of the time-variable parameters and external fields.

Bu tezin amacı bir ve yüksek boyutlarda genelleştirilmiş kuantum parametrik osilatörlerin dinamiğini çalışmak ve tam çözülebilen modeller sunmaktır. İlk olarak, ikinci dereceden en genel Hamiltonyen’e karşılık gelen bir boyutlu bir kuantum parametrik osilatör için klasik olmayan durumların zamanla evrimi açıkça bulunmuş ve dalga paketlerinin sıkışma özellikleri analiz edilmiştir. Daha sonra, hareketli bir sınıra dayatılan Dirichlet ve Robin sınır koşullarına sahip genelleştirilmiş kuantum parametrik osilatör için başlangıç sınır değer problemleri tanıtılmıştır. Hareketli sınırların etkisini inceleyebilmek için farklı türdeki başlangıç verilerine ve homojen sınır koşullarına karşılık gelen çözümler bulunmuştur. Ayrıca, zamana bağlı parametrelere sahip N boyutlu bir genelleştirilmiş kuantum harmonik osilatör ele alınmış ve çözümü evrim operatörü yöntemini kullanarak elde edilmiştir. Tam çözülebilen kuantum modeller tanıtılmış ve her bir model için zamanla evrimleşmiş eş uyumlu durumların sıkışma ve yer değişme özellikleri çalışılmıştır. Son olarak, evrim operatörü yöntemini kullanarak, zamana bağlı olarak değişen dış alanların varlığında genelleştirilmiş iki boyutlu bir kuantum parametrik bağlaşım osilatörünü tanımlayan zamana bağlı Schrödinger denklemi çözülmüştür. Üretici ve özdurumların ve eş uyumlu durumların zamanla evrimi karşılık gelen bağlantılı klasik hareket denklemlerinin sisteminin çözümleri cinsinden açıkça türetilmiştir. Ek olarak, zamana bağlı manyetik ve elektrik alanlarda artan kütle ve azalan frekansa sahip Cauchy-Euler tipi bir kuantum osilatör tanıtılmıştır. Açık sonuçlara dayanarak, dalga paketlerinin sıkışma özellikleri ve iki boyutlu konfigürasyon uzayındaki yörüngeleri, zamana bağlı parametrelerinin ve dış alanların etkisine göre tartışılmıştır.