Belirli Altmodülleri Direkt Toplananlarına İzomorfik Olan Modüller

Abstract

Bir sağ R-modülüne, her sonlu olarak üretilen alt modülü direkt toplanan olduğunda kuvvetli düzenli denir. Bu tezin temel amacı, bazı kuvvetli düzenli modül sınıflarını eşitlik yerine izomorfizma kavramı temelinde ele alan farklı bir bakış açısıyla incelemek ve bu modüllerin yapısal özelliklerini araştırmaktır. Bu bağlamda, bir sağ R-modülü M, her (sonlu olarak üretilen) devirsel alt modülü M'nin bir direkt toplananı ile izomorfik ise (kuvvetli) sanal düzenli olarak adlandırılır. Ayrıca, M'nin tüm alt modülleri sanal düzenli ise M'ye tamamen sanal düzenli modül denir. Bu tezde yukarıda sözü edilen modüllerin keyfi bir halka üzerindeki temel özellikleri incelenmiş ve belirli bazı halkalar üzerindeki yapıları ve karakterizasyonları verilmiştir. Özellikle, değişmeli halkalar, tamlık bölgeleri, Dedekind bölgeleri ve değerlendirme bölgeleri üzerinde bu modüllerin yapıları incelenmiştir. Değerlendirme bölgeleri üzerinde, sonlu sunumlu (kuvvetli) sanal düzenli ve tamamen sanal düzenli modülleri yapıları tam olarak belirlenmiştir. Bu modüllerin benzer başka modüller ile ilişkileri de incelenmiştir.A right R-module is called strongly regular if every finitely generated submodule is a direct summand. The main purpose of this thesis is to investigate certain classes of strongly regular modules from a new perspective, focusing on isomorphism rather than equality. In this context, a right R-module M is said to be (strongly) virtually regular if every (finitely generated) cyclic submodule of M is isomorphic to a direct summand. Moreover, M is called completely virtually regular if all of its submodules are virtually regular. In this thesis, the fundamental properties of the aforementioned modules over an arbitrary ring have been examined, and their structures and characterizations over certain specific rings have been provided. In particular, the structures of these modules over commutative rings, integral domains, Dedekind domains, and valuation domains have been studied. Over valuation domains, the structures of finitely presented (strongly) virtually regular and completely virtually regular modules have been completely determined. The relationships of these modules with other similar modules have also been investigated.