Initial-Boundary Value Problem for the Higher-Order Nonlinear Schrödinger Equation on the Half-Line

Abstract

We establish local well-posedness in the sense of Hadamard for the higher-order nonlinear Schrödinger equation with a general power nonlinearity formulated on the halfline {x > 0}. We consider separately the two different scenarios of associated coefficients such that only one boundary condition is required, or exactly two boundary conditions are required. We assume a general nonhomogeneous boundary datum of Dirichlet type at x = 0 for the former case, and we add the Neumann type for the latter case. Our functional framework centers around fractional Sobolev spaces Hs x(R+) with respect to the spatial variable. We treat both high regularity (s > 1 2 ) and low regularity (s < 1 2 ) solutions: in the former setting, the relevant nonlinearity can be handled via the Banach algebra property; in the latter setting, however, this is no longer the case and, instead, delicate Strichartz estimates must be established. This task is especially challenging in the framework of nonhomogeneous initial-boundary value problems, as it involves proving boundary-type Strichartz estimates that are not common in the study of Cauchy (initial value) problems. The linear analysis, which forms the core of this work, crucially relies on a weak solution formulation defined through the novel solution formulae obtained via the Fokas method (also known as the unified transform) for the associated forced linear problem. In this connection, we note that the higher-order Schrödinger equation comes with an increased level of difficulty due to the presence of more than one spatial derivatives in the linear part of the equation. This feature manifests itself via several complications throughout the analysis, including (i) analyticity issues related to complex square roots, which require careful treatment of branch cuts and deformations of integration contours; (ii) singularities that emerge upon changes of variables in the Fourier analysis arguments; (iii) complicated oscillatory kernels in the weak solution formula for the linear initialboundary value problem, which require a subtle analysis of the dispersion in terms of the regularity of the boundary data.

Yüksek mertebeden do˘grusal olmayan Schrödinger denklemi için yarı do˘gru {x > 0} üzerinde genel kuvvet tipinde do˘grusal olmayan terim ile birlikte Hadamard anlamında lokal iyi konulmu¸slu˘gu sa˘glamaktayız. ˙Ilgili katsayıların iki farklı senaryosuna göre bir sınır ko¸sulu yeterli olan veya tam olarak iki sınır ko¸sulu gerektiren durumları ayrı ayrı ele alıyoruz. ˙Ilk durum için x = 0 durumunda homojen olmayan genel Dirichlet tipinde sınır verisini, sonraki için ise ilaveten Neumann tipini kabul etmekteyiz. Fonksiyonel çerçevemiz, uzaysal de˘gi¸sken açısından Hs x(R+) kesirli Sobolev uzayları etrafında dönmektedir. Hem yüksek düzenlilikli (s > 1/2) hem de dü¸sük düzenlilikli (s < 1/2) çözümleri ele alıyoruz: ilk durumda ilgili do˘grusal olmayan terim Banach cebiri özelli ˘gi aracılı˘gıyla ele alınabilmektedir; ancak ikinci durumda bu durum geçerli de˘gildir ve bunun yerine hassas Strichartz kestirimleri elde edilmelidir. Bu görev, ba¸slangıç-sınır de˘ger problemleri çerçevesinde özellikle zordur, çünkü ba¸slangıç de˘gerli (Cauchy) problemlerinin çalı¸sılmasında yaygın olmayan sınır tipi Strichartz tahminlerini ispatlamayı içermektedir. Bu çalı¸smanın temelini olu¸sturan do˘grusal analiz, ili¸skili zorlanmı¸s do˘grusal problem için Fokas yöntemi (aynı zamanda birle¸sik dönü¸süm olarak da bilinir) aracılı˘gıyla elde edilen yenilikçi çözüm formülleri ile tanımlanan zayıf bir çözüm formülasyonuna kritik bir ¸sekilde dayanmaktadır. Bu ba˘glamda, yüksek mertebeden Schrödinger denkleminin, denklemin do˘grusal kısmında birden fazla uzaysal türev bulundu˘gu için artan bir zorluk seviyesi ile geldi˘gini belirtmek gerekir. Bu özellik, analiz boyunca birkaç karma¸sıklık olarak kendini göstermektedir, bunlar: (i) Karma¸sık kareköklerle ilgili analitiklik sorunları, bu da dal kesimleri ve integral konturlarının deformasyonlarının dikkatli bir ¸sekilde ele alınmasını gerektirir; (ii) Fourier analizi argümanlarındaki de˘gi¸sken de˘gi¸stirmeler sırasında ortaya çıkan tekillikler; (iii) Do˘grusal ba¸slangıç-sınır de˘ger problemi için zayıf çözüm formülündeki karma¸sık titre¸simli çekirdekler, bu da sınır verilerinin düzenlili˘gi açısından da˘gılmanın ince bir analizini gerektirir.