A Compact Finite Difference Method of Lines for Solving Non-Linear Partial Differential Equations

Abstract

In this thesis, an efficient numerical method is proposed for the numerical solution of the chemical reaction-diffusion model governed by a non-linear system of partial differential equations known as a Brusselator model. The method proposed is based on a combination of higher-order Compact Finite Difference schemes and stable time integrator known as an adaptive step-size Runge-Kutta method. The performance of adaptive step-size Runge-Kutta formula of fifth-order accurate in time and Compact Finite Difference scheme of sixth-order in space are investigated. The method is implemented to solve three test problems and reveals that the method is capable of achieving high efficiency, accuracy and reliability. The results obtained are sufficiently accurate compared to some available results in the literature.

Bu tezde, kimyasal reaksiyon-difüzyon modeli olan ve Brusselator Modeli olarak da bilinen doğrusal olmayan kısmi diferansiyel denklem sisteminin çözümü için bir sayısal yöntem önerilmiştir. Önerilen yöntem yüksek mertebeden Kompakt Sonlu Fark şemaları ve kararlı zaman tümlev alıcısı, bilinen adıyla adaptif hesap adımlı Runge Kutta yönteminin kombinasyonuna dayanmaktadır. Uzayda altıncı mertebeden Kompakt Sonlu Fark Şeması ve zamanda ise beşinci mertebeden Adaptif Hesap Adımlı Runge-Kutta yönteminın performansı incelenmiştir. Yöntem üç adet test problemine uygulanmıştır ve yüksek hassasiyette (doğrulukta) çözümler elde edilmiştir. Aynı zamanda yöntemin verimli ve güvenilir olduğu ortaya çıkmıştır. Elde edilen sonuçlar literatürdeki diğer sonuçlarla uyuşmaktadır.