On Relative Projectivity of Some Classes of Modules

Abstract

The main purpose of this thesis is to study R-projectivity and max-projectivity of some classes of modules, and module classes related to max-projective modules. A right R-module M is called max-projective provided that each homomorphism f:M → R/I where I is any maximal right ideal, factors through the canonical projection π:R → R/I. We call a ring R right almost-QF (resp. right max-QF) if every injective right R-module is R-projective (resp. max-projective). In this thesis we attempt to understand the class of right almost-QF (resp. right max-QF) rings. Among other results, we prove that a right Hereditary right Noetherian ring R is right almost-QF if and only if R is right max-QF if and only if R = S x T , where S is semisimple Artinian and T is right small. A right Hereditary ring is max-QF if and only if every injective simple right R-module is projective. Furthermore, a commutative Noetherian ring R is almost-QF if and only if R is max-QF if and only if R = A x B, where A is QF and B is a small ring. Moreover, we introduced and studied some homological objects related with max-projective modules.

Bu tezde bazı modül sınıflarının R-projektifliği ve max-projektifliğinin ve max-projektiflikle bağlantılı modül sınıflarının çalışılması amaçlanmaktadır. Bir sağ modül M'ye max-projektif modül denir eğer her maksimal sağ ideal için, her f:M → R/I homomorfizması, π:R → R/I kanonik projeksiyonu üzerinden taşınabiliyorsa. Her injektif sağ R-modülü R-projektif (max-projektif) olan halkalara sağ almost-QF (max-QF) halka denir. Bu tezde sağ almost-QF (max-QF) halka sınıflarını anlamaya çalışacağız. Diğer sonuçlar arasında, sağ kalıtsal sağ Noether bir R halkasının sağ almost-QF olması ancak ve ancak R halkasının sağ max-QF olması ancak ve ancak S yarıbasit Artin halka ve T sağ küçük halka olmak üzere R = S x T şeklinde olmasıdır. Sağ kalıtsal R halkanın max-QF olması ancak ve ancak her injektif basit sağ R-modülün projektif olmasıdır. Dahası, değişmeli Noether bir R halkasının almost-QF olması ancak ve ancak halkanın max-QF olması ancak ve ancak A halkası QF halka ve B halkası küçük halka olmak üzere R = A x B şeklinde olmasıdır. Bunların yanında, max-projektif modüller ile ilgili bazı homolojik nesneleri tanımladık ve inceledik.