Entanglement and Topological Phenomena in Quantum Walks

Abstract

Quantum walk, a counterpart of classical random walk, is widely used in the development of quantum algorithms and the modelling of physical systems. Since it has a simple and powerful mathematical structure, its implementation in physical systems serves to solve complex problems. In one-dimensional space, we investigated the topological properties of the simple quantum walk, and under which conditions the simple quantum walk possesses winding numbers. Then, we introduced the split-step quantum walk in a twodimensional space and numerically obtained Chern number phase diagram of each band as a function of rotation parameters. Subsequently, we introduced and studied the quantum walk protocols governed by two coins in a two-dimensional space. We first explored the entanglement and topological properties of a quantum walk protocol governed by a single non-local two-coin operator followed by translations along two spatial directions each governed by a different coin. We deduced that the motion reduces to one-dimensional motion in two spatial directions in decoupled coin subspaces. Then, we studied the split-step quantum walk protocols, where each step is comprised of local coin operations, followed by translations, non-local coin operations, and translations again. In these protocols, each step involves two translations along two spatial directions, and translations along a given spatial direction were either governed by the same coin or alternating coins. We also explored three different non-local coin operations, where a collective rotation takes place in a coin space conditioned on the state of the other coin's state along the same direction or perpendicular direction. We identified the effective Hamiltonian of the system and determined its eigenstates which are comprised of four bands in the Brillouin zone. For all the protocols we have introduced, we studied the coin-coin entanglement and topological properties as a function of coin rotation parameters.

Klasik rastgele yürüyüşünün bir analojisi olarak tanımlanan kuantum yürüyüşü, kuantum algoritmalarının geliştirilmesinde ve fiziksel sistemlerin modellenmesinde sıkça kullanılmaktadır. Basit ve güçlü matematiksel yapısından dolayı fiziksel sistemlere uyarlaması kompleks problemlerin çözümüne yardımcı olur. Bir boyutlu uzayda, basit kuantum yürüyüşünün topolojik özelliklerini ve hangi şartlar altında dolanım sayılarına sahip olduğunu inceledik. Daha sonra iki boyutlu uzayda bölünmüş-adımlı kuantum yürüyüşünü tanıttık ve her bir bandın Chern sayısı faz diyagramını döndürme parametrelerine göre nümerik olarak elde ettik. Ardından iki boyutlu bir uzayda iki kuantum parası tarafından yönetilen kuantum yürüyüş protokollerini tanıttık. İlk olarak, bir tane yerel olmayan(kolektif) kuantum parası döndürme operatöründen ve her bir yönü farklı kuantum paraları tarafından yönetilmiş öteleme operatöründen oluşan kuantum yürüyüşünün dolanıklık ve topolojik özelliklerini inceledik. Kuantum yürüyüşünün ayrıklaşmış kuantum alt uzayında bir boyutlu kuantum yürüyüşlerine indirgendiği sonucuna ulaştık. Daha sonra, her bir adımın sırasıyla yerel kuantum parası operatörlerinden, öteleme operatörlerinden, yerel olmayan kuantum parası operatöründen ve tekrar öteleme operatöründen oluşan bölünmüş-adımlı kuantum yürüyüş protokollerini inceledik. Bu protokollerde, her bir adım iki uzamsal yön boyunca iki öteleme ve aynı kuantum parası veya farklı kuantum parası tarafından yönetilen belirli bir uzamsal yön boyuncaki ötelemeleri içerir. Aynı zamanda, aynı veya dikey yön boyunca bir diğer kuantum parasının durumuna bağlı olarak kuantum parası uzayında uygulanan üç farklı yerel olmayan(kolektif) kuantum parası operatörlerini inceledik. Sistemlerin efektif Hamiltonyen'ini tanımladık ve Brillouin bölgesinde dört banttan oluşan özdurumlarını belirledik. Tanımladığımız bütün protokoller için kuantum para-kuantum para dolanıklığını ve topolojik özellikleri döndürme açılarına bağlı olarak inceledik.