Numerical Solution Methods for Boundary Value Problems for the Laplace Equation in Semi-Infinite Domains

Abstract

The essential purpose of this thesis is to get numerical solutions of the Laplace Equation Boundary Value Problems subject to Dirichlet and Mixed boundary conditions on doubly connected semi-infinite domains, namely the upper half plane and semi-infinite strips, using boundary integral equations. Conformal maps served as a tool to transform the doubly connected semi-infinite domains into a doubly connected bounded domain. Images of boundary conditions are evaluated and the accuracy of the conformal maps are investigated. Then each problem is reduced to a system of linear boundary integral equations by representing the solution to the boundary value problems as combinations of double- and single-layer potentials. In the case of Dirichlet boundary conditions, we used a modification that ensures the unique solvability of the system of Fredholm Integral Equations of the second kind. However, in the case of mixed boundary conditions, such a modification is not needed. After the investigations of uniqueness and existence of solutions to the constructed systems of integral equations of the second kind, the systems of equations are solved by using the Nyström method, based on quadrature rules. For the numerical integration of integral operators with continuous kernels, the trapezoidal rule is used. For the numerical integration of the kernels with logarithmic singularity, we first split off the singularity and apply an extremely accurate quadrature rule for the improper integrals. Error analysis for both numerical integration techniques are given in details and the accuracy of Nyström Method which depend on the quadrature method is explained. Different test cases are considered to check the accuracy of the method and the order of convergence and error results are illustrated by numerical examples.

Bu tezin temel amacı çift bağlantılı yarı-sonsuz alanlarda Dirichlet veya Karışık sınır değerleri ile tanımlanmış Laplace denklemi için sınır değer problemlerinin sayısal çözümlerini bulmaktır. Açıkorur dönüşümler yardımı ile çift bağlantılı yarı-sonsuz alanlar, çift bağlantılı sonlu alanlara dönüştürülmüştür. Dönüşümlerin bileşke fonksiyon olduğu durumlarda doğrulukları kontrol edilmiş ve hatalar düzeltilmiştir. Daha sonra problemler, tek- ve çift-katman potansiyelleri kullanılarak, doğrusal sınır integral denklem sistemi şeklinde yazılmıştır. Dirichlet sınır değerler problemlerinde İkinci Tür Fredholm Integral Denklem Sisteminin çözümünün özgünlüğünü garanti eden bir modifikasyon kullanılmıştır. Buna karşın, karışık sınır değer problemlerinde bu modifikasyona gerek duyulmaksızın çözümün özgünlüğü kanıtlanabilmiştir. çözümlerin özgünlüğünün araştırılmasından sonra bu integral denklem sistemleri Nyström Yöntemi kullanılarak sayısal olarak çözülmüştür. Sayısal integral alma yöntemi olarak sürekli kerneli olan integral operatörlerini hesaplamak için yamuk kuralı kullanılırken, zayıf tekil kerneli olan integral operatörlerini hesaplamak için ise logaritmik tekillik kernelden ayrılıp bir kısım analitik olarak hesaplanırken diğer kısım has olmayan integrallere özgü bir sayısal integral alma yöntemi ile hesaplanmıştır. İki sayısal integral alma yöntemi için de hata analizleri yapılmış ve Nyström Yönteminin doğruluğu açıklanmıştır. Farklı senaryolar ile yöntemin doğruluğu test edilmiş olup hata sonuçları sayısal örnekler ile görselleştirilmiştir.