The Dirichlet Problem for the Fractional Laplacian

Abstract

This thesis is an introduction to the fractional Sobolev spaces and the fractional Laplace operator. We define the fractional Sobolev spaces and give their properties by comparing them with the classical version of Sobolev spaces. After giving the motivation that comes from the random walk theory, we define the fractional Laplacian. We focus on the mean-value property of s-harmonic functions and get into details of extension and maximum principle of the weak solution of the Dirichlet problem for the fractional Laplacian. Afterall, we explain the regularity of the weak solution of the Dirichlet problem for the fractional Laplacian inside a domain and up to the boundary, respectively.Bu tez kesirli Sobolev uzayları ve kesirli Laplas operatörü için bir tanıtımdır. Kesirli Sobolev uzayları tanımlanmış ve özellikleri, klasik Sobolev uzayları ile kıyaslanarak verilmiştir. Rassal yürüyüş teorisinden gelen motivasyon ile kesirli Laplasyan tanımlanmıştır. S -harmonik fonksiyonların ortalama-değer özelliği üzerinde durulmuş ve kesirli Laplasyan için Dirichlet probleminin zayıf çözümlerinin genişleme ve maksimum prensipleri detaylıca işlenmiştir. Tüm bu çalışmadan sonra, kesirli Laplasyan için Dirichlet probleminin zayıf çözümlerinin, sırasıyla tanım kümesinin iç kısmında ve kapanışındaki düzgünlüğü anlatılmıştır.