When Certain Relative Projectivity and Injectivity Conditions Imply the Global Projectivity and Injectivity

Abstract

A right R-module M is called R-projective provided that it is projective relative to the right R-module RR. One of the parts of this thesis deals with the rings whose all nonsingular right modules are R-projective. For a right nonsingular ring R, we prove that RR is of finite Goldie rank and all nonsingular right R-modules are R-projective if and only if R is right finitely Σ-CS and flat right R-modules are R-projective. Then, R-projectivity of the class of nonsingular injective right modules is also considered. Over right nonsingular rings of finite right Goldie rank, it is shown that R-projectivity of nonsingular injective right modules is equivalent to R-projectivity of the injective hull E(RR). As a second goal, we deal with simple-injective modules. For a right module M, we prove that M is simple-injective if and only if M is min-N-injective for every cyclic right module N. The rings whose simple-injective right modules are injective are exactly the right Artinian rings. A right Noetherian ring is right Artinian if and only if every cyclic simple-injective right module is injective. The ring is quasi-Frobenius if and only if simple-injective right modules are projective. For a commutative Noetherian ring R, we prove that every finitely generated simple-injective R-module is projective if and only if R = A × B, where A is quasi-Frobenius and B is hereditary. An abelian group is simpleinjective if and only if its torsion part is injective.

Bir sağ R-modül M, eğer sağ R-modül RR’ye göre projektif oluyorsa bu durumda M modülüne R-projektif denir. Bu tezin ilk kısmında üzerindeki tüm tekil olmayan sağ modüllerin R-projektif olduğu halkalar ile ilgileniyoruz. Bir sağ tekil olmayan R halkası için, RR’nin sonlu Goldie ranka sahip olması ve tüm tekil olmayan sağ R-modüllerinin Rprojektif olmasının ancak ve ancak R halkası sağ sonlu Σ-CS ve düz sağ R-modülleri Rprojektif olan bir halka ise sağlandığını kanıtladık. Daha sonra, tekil olmayan injektif sağ modül sınıfının R-projektifliğini ele aldık. Sonlu sağ Goldie ranka sahip sağ tekil olmayan halkalar üzerinde tekil olmayan injektif sağ modüllerin R-projektifliğinin halkanın injektif bürümü olan E(RR)’nin R-projektif olmasına denk olduğunu gösterdik. Bu tezde, ikinci bir amaç olarak, basit-injektif modüller ile ilgili olan ilişkileri gözlemliyoruz. İlk olarak, bir sağ R-modül M’nin basit-injektif olmasının M’nin tüm devirli sağ R-modüllere göre mininjektif olmasına denk olduğunu ispatladık. Basit-injektif sağ modülleri injektif olan halkaların tam olarak sağ Artin halkalar olduğunu gösterdik. Ayrıca, değişmeli Noether bir R halkası için her sonlu üretilmiş basit-injektif R modülün projektif olmasının ancak ve ancak A quasi-Frobenius ve B hereditary bir halka olmak üzere, R = A × B formunda iken gerçeklendiğini kanıtladık. Bununla beraber, bir değişmeli grubun basit-injektif olmasının onun burulma kısmının injektif olmasına denk olduğunu gösterdik.