Classical Theorems of Ramsey Theory Via Combinatorial and Ultrafilter Methods

Abstract

Bu tezde ana amaç, Ramsey teorisinin dört klasik teoremi olan Ramsey, Schur, van der Waerden ve Rado teoreminin ispatını sunmaktır. Bu teoremlerin birbirlerine denk olan sonlu ve sonsuz versiyonlarını ispatlarıyla birlikte ele alıyoruz. Ayrıca, filtreler olarak bilinen, standart olmayan analizin temel araçlarını tanıtıyoruz. Bunun yanı sıra, ultrafiltreler kullanılarak Schur teoreminin ve van der Waerden teoreminin özel bir durumunun iki farklı ispatını sunuyoruz.In this thesis, the ultimate aim is to present the proofs of the four classical theorems of Ramsey theory: Ramsey's, Schur's, van der Waerden's, and Rado's theorems. We discuss the finite and infinite versions of these theorems, which are equivalent to each other, along with their proofs. Additionally, we introduce the basics of nonstandard analysis tools, so called filters. Furthermore, we present two different proofs of Schur's and a special case of van der Waerden's theorems using ultrafilter methods.